- Lúc thực hiện những phép thay đổi vào chứng tỏ bất đẳng thức , ko được trừ hai bất đẳng thức thuộc chiều hoặc nhân chúng Khi chưa biết rõ lốt của hai vế . Chỉ được phép nhân nhì vế của bất đẳng thức với cùng 1 biểu thức Lúc ta hiểu ra dấu của biểu thức kia

 - Cho một trong những hữu hạn những số thực thì trong những số đó khi nào ta cũng lựa chọn ra được số lớn nhất cùng số bé dại duy nhất . Tính hóa học này được dùng để làm chuẩn bị sản phẩm công nghệ trường đoản cú các ẩn vào việcchứng minh một bất đẳng thức

 


Bạn đang xem: Chuyên đề bất đẳng thức và cực trị lớp 9

*
37 trang
*
ngôi trường đạt
*
*
3441
*
8Download

Xem thêm: Cofer Là Gì ? Một Số Đánh Giá Khách Quan Về Cao Đẳng Kinh Tế Đối Ngoại (Cofer)

Quý khách hàng đang coi trăng tròn trang chủng loại của tư liệu "Chuyên ổn đề Bất đẳng thức, bất phương thơm trình, cực trị đại số", nhằm cài đặt tư liệu nơi bắt đầu về lắp thêm chúng ta clichồng vào nút DOWNLOAD ở trên

Bất đẳng thức , bất pmùi hương trình ,cực trị đại số - Bất đẳng thức 1. Kiến thức cần lưu giữ a) Định nghĩa : Cho hai số a cùng b ta gồm a > b a – b > 0 b) Một số bất đẳng thức cơ bản : 01) Các bất đẳng thức về luỹ thừa với căn thức : cùng với A là 1 biểu thức ngẫu nhiên , vết bằng xảy ra lúc A = 0 ; ; vết bởi xẩy ra lúc A = 0 Với vết bởi xảy ra Khi bao gồm tối thiểu một trong các nhì số bằng ko cùng với dấu bằng xảy ra lúc B = 0 02) Các bất đẳng thứcvề quý giá tuyệt đối hoàn hảo Với A ngẫu nhiên , lốt bởi xẩy ra Lúc A = 0 vệt bằng xẩy ra Lúc A và thuộc vệt Dấu bằng xẩy ra Lúc A và B cùng lốt cùng A> B 03) Bất đẳng thức Cauchy ( Cômê man ) : - Cho các số ( Trung bình nhân của n số không âm ko to hơn mức độ vừa phải cộng của chúng ) Dấu bằng xảy ra khi - Bất đẳng thức Cômê mệt đến nhì số hoàn toàn có thể phát biểu bên dưới những dạng sau : Với a cùng b là những số không âm Với a cùng b là những số ngẫu nhiên Với a cùng b là các số ngẫu nhiên Dấu bằng xẩy ra lúc a = b 04) Bất đẳng thức Bunhiacopsky (Còn Call là bất đẳng thức Côđắm đuối – Svac ) : - Cho nhì bộ các số thực: và . lúc đó : Dấu bởi xẩy ra khi : - Hoặc cùng với ai , bi khác 0 và nếu như thì tương ứng cũng bằng 0 - Hoặc gồm một cỗ vào nhị bộ trên bao gồm toàn số ko - Bất đẳng thức Côđê mê – Svac mang lại nhì cặp số : Dấu bởi xảy ra Lúc ay = bx 05) Bất đẳng thức Với x > 0 ; Với x b cùng b > c thì a > c 02 ) Tính hóa học liên quan đén phép cộng : Cộng nhì vế của bất đẳng thức với cùng một số : Nếu a> b thì a +c > b+ c Cộng nhị bất đẳng thức thuộc chiều : Nếu a > b với c > d thì a+c > b +d 03 ) Trừ nhì bất đẳng thức trái hướng : Nếu a > b cùng c b – d 04 ) Các tính chất tương quan cho phép nhân : - Nhân 2 vế của bất đẳng thức cùng với một trong những Nếu a >b với c > 0 thì ac > bc Nếu a > b cùng c b >0 và c > d > 0 thì ac > bd Nếu a bd Luỹ thừa hai vế của một bất đẳng thức : Với hồ hết Với phần đông Với các 0 m a > 1 Với n > m 2. Một số vấn đề cần xem xét : - khi tiến hành những phnghiền thay đổi trong chứng tỏ bất đẳng thức , ko được trừ nhị bất đẳng thức thuộc chiều hoặc nhân chúng Lúc chưa chắc chắn rõ vệt của hai vế . Chỉ được phép nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một biểu thức Lúc ta biết rõ vệt của biểu thức đó - Cho một số hữu hạn những số thực thì trong những số đó bao giờ ta cũng chọn ra được số lớn số 1 và số nhỏ độc nhất . Tính hóa học này được dùng để làm sắp tới lắp thêm từ các ẩn trong việcchứng tỏ một bất đẳng thức 3. Một số phương pháp minh chứng bất đẳng thức:3.1. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thứcVí dụ 1: Chứng minch rằng với đa số số thức x thì :Giải :Ta gồm : Với hầu như x Do vậy : Đúng với mọi x Dấu bằng xẩy ra Khi x = -3 lấy một ví dụ 2 : Cho a, b cùng a+b 0 . Chứng minch rằng Giải :Ta có : Xét tử của M : Vì a+b 0 yêu cầu M= > 0 bởi vì a, b cần thiết mặt khác bằng 0 3.2. Phương thơm pháp phản chứng:lấy ví dụ 3: Cho ba số a, b, c đống ý . Chứng minc rằng cả bố số đó đều dương Giải- Giả sử tất cả một vài ko dương: a Ê 0Từ abc > 0 ta có: bc 0 ta có: b + c > - a > 0Từ ab +bc+ac >0 ta có: bc + a(b + c) > 0 ị bc > - a (b + c) > 0 (**)Ta có (*) và (**) mâu thuẫn nhau ị đpcentimet.3.3. Phương pháp áp dụng những bất đẳng thức cơ bản:lấy ví dụ 4: Chứng minc rằng: Với x, y > 0. Ta có : ( 1 + x) (1 + y) (1 + )2 GiảiCách 1 : vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta gồm : Cách 2 : Theo bất đẳng thức Cosi mê ta có:Dấu bằng xẩy ra Lúc x = yVí dụ 5 : Cho với 3a + 4 = 5 . Chứng minh rằng Giải :Cách 1 : vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta gồm : 1Dấu bởi xảy ra lúc : Cách 2 : Từ 3a +4b = 5 ta gồm a= Vậy Đúng với mọi x lấy ví dụ 6 : Chứng minh rằng với mọi góc nhọn x ta bao gồm : a ) sin x + cosx b) tgx + cotgx 2 Giải :a) vận dụng bất đẳng thức Cosay đắm đến nhị số dương ta có : sin x + cosx Dấu bởi xảy ra Lúc sinx = cosx tốt x = 450b ) Vì tgx , cotgx >0 . vận dụng bất đẳng thức Coyêu thích mang đến nhì số ta tất cả ; tgx + cotgx ( Vì tgx . cotgx = 1 ) Dấu bằng xảy ra khi tgx = cotgx tuyệt x= 450ví dụ như 7 : Cho . Chứng minc rằng : Giải :Ta tất cả : vận dụng bất đẳng thức Cosiđến nhị số dương và ta có : Mà : Vậy Dấu bằng xẩy ra lúc a = 4 ví dụ như 8 : Chứng minc rằng với tất cả số thực x , y ta tất cả : Giải :Bất đẳng thức bắt buộc chứng tỏ tương tự cùng với : Như vậy đúng vì chưng cùng ko đôi khi xảy ra (2x-1)2 = (y-3)2 = (x-y)2 = 0 3.4. Pmùi hương pháp thực hiện ĐK tất cả nghiệm của phương trình :Ví dụ9 : Chứng minc rằng nếu như pmùi hương trình:2x2 + (x + a)2 + (x + b)2 = c2Có nghiệm thì 4c2 3(a + b)2 – 8abGiảiTa bao gồm : Để phương thơm trình tất cả nghiệm thì : 3.5. Phương pháp làm trội:Ví dụ10 : Chứng minch cùng với n N* thì:GiảiTa có: + .4. Các bài tập từ bỏ luyện :Bài 1: Trong tam giác vuông ABC có cạnh huyền bằng 1 , nhì cạnh góc vuông là b và c. Chứng minch rằng : b3 + c3 b > 0 . Chứng minc rằng b ) vận dụng so sánh và Hướng dẫn giải :Bài 1 : Theo định lý Pitago ta có một = b2 + c2 với 1> b; 1 > cVậy 1= b2 + c2 > b3 + c3Bài 2 : a) Ta bao gồm : Vì x2 - x +1 = với tất cả x Nên ( Đúng )Dấu bởi xảy ra Lúc x = b ) Ta tất cả : Đúng vày a +b 0; a+b > 0 nên: (*) ( Bất đẳng thức Cosi đến 2 số )Vậy với đa số a , b > 0 b) Đặt (x-1)2 = t thì t > 0 cùng x(2-x) = -x2+2x = 1-(x-1)2 = 1-t Vì 0 0 áp dụng bất đẳng thức ở câu (a) mang đến nhị số dương t với 1-t ta được Mà 4 - x2 P = 0Với x 0 ta có: Phường = x = P(x + a)2 px2 + 2 apx + pa2 = x px2 + (2ap – 1) x + a2 = 0Để phương trình gồm nghiệm thì: (2ap – 1)2 – 4pa2 0 4a2p2 – 4ap + 1 – 4a2p 0 4a2p2 – 4a (a + 1)p + 1 0Giải bất pmùi hương trình bậc 2 nhận được P1 Phường. P24. Những bài tập từ luyện :Bài 1: Tìm cực hiếm bé dại nhất của những biểu thức sau: a) A = x2 - 6x +1 b) B = 10x2+5y2- 4x - 6y -12xy +2020 c) C = d ) D = 3x2+5y2 cùng với Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) M = - x2 + 4x + 7 b ) N = 2003 -2x2 - 8y2 +2x + 4xy + 4y c) Phường. = ( x+1 ) (2 - x ) Bài 3: Tìm giá bán tri lớn nhất cùng bé dại độc nhất của biểu thức: P = Giải:Bài 1: a) A= (x-3)2 -8 phải min A = 8 khi x = 3 b) B = ( x-2)2 +(y - 3)2 +(3x -2y)2 +2007 Nên Min B = 2007 Khi x = 3; y =2 c) Điều kiện: x 0 (*). áp dụng bất dẳng thức Comê say cho nhì số dương ta có:Vậy MinC = 2 lúc so sánh cùng với (*) ta được x =-1 c) Từ Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có: Vậy MinD = 2 Khi x= với y = Bài 2: a) M = 11 - (x - 2)2 Nên MaxM = 11 Lúc x = 2 b) N = 2005 - (x -1 )2 -(2y+1)2-(x-2y)2 Nên MaxN = 2005 khi x = 1; y = - c ) P.. = ( x+1 ) (2 - x ) ( Bất đẳng thức Comê man ) Vậy MaxP = Khi x = Bài 3: Ta có: Phường. = (* ) Ta thấy P.. = 0 Khi x = Với P. 0 thì quý giá của Phường. bắt buộc tán thành mang đến phương trình (*) tất cả nghiệm cùng với x Điều này tương tự với: Vậy MaxPhường. = Khi x = MinPhường = -Khi x = V.3. Bất phương thơm trình 1. Kiến thức cần lưu giữ : - Bất phương thơm trình bậc nhất : ax +b = 0 () + Nếu a > 0 bất pmùi hương trình gồm nghiệm + Nếu a thì f(x) và hệ số a cùng vết , Lúc x 0 ; A(x)B(x) b b b , b > c a > c+ + + + 3. Một số hằng bất đẳng thức + ; xẩy ra đẳng thức lúc a = 0.+ . Xảy ra đẳng thức khi a = 04. Một số cách thức chứng tỏ bất đẳng thức4.1. Dùng định nghĩaĐể chứng tỏ A > B, ta xét hiệu A - B với minh chứng rằng A - B > 04.2. Dùng các phnghiền thay đổi tương đươngĐể minh chứng A > B ta biến hóa tương tự Trong đó bất đẳng thức An > Bn luôn luôn đúng, vì chưng quy trình biến hóa là tương đương buộc phải ta suy ra A > B là đúng.4.3. Dùng bất đẳng thức phụĐể minh chứng A > B, ta khởi nguồn từ một hằng bất đẳng thức hoặc một bất đẳng thức đơn giản và dễ dàng (Hotline là bđt phụ) cùng biến hóa tương đương suy ra A > B.II- Các dấn xét cùng những bài toán minh hoạ đến Việc vận dụng, khai quật một bất đẳng thức lớp 8Nhận xét :Trong công tác tân oán T.H.C.S bao gồm một bất đẳng thức thân quen mà Việc ứng dụng của chính nó trong khi giải những bài xích tập đại số cùng hình học tập rất gồm kết quả. Ta hay gọi sẽ là “bất đẳng thức kép”. Đó là bất đẳng thức sau :Với các a, b ta luôn luôn bao gồm : (*)Nhận thấy (*) Cả cha bất đẳng thức trên đầy đủ tương tự cùng với hằng bất đẳng thức và cho nên vì thế bọn chúng xẩy ra đẳng thức Lúc a = b.ý nghĩa của bất đẳng thức (*) là nêu bắt buộc quan hệ giữa tổng hai số cùng với tích nhị số và với tổng những bình pmùi hương của hai số đó.Sau đấy là một số ví dụ minch hoạ vấn đề vận dụngvà khai thác bất đẳng thức (*).Bài tân oán 1:Cho a + b = 1 . Chứng minch rằng: ; ; * Giải : vận dụng bất đẳng thức (1) và mang thiết a + b = 1 ta có: ; .Đẳng thức xẩy ra Lúc a = b = một nửa.* Knhì thác bài xích toánNhận xét 1: Nếu liên tục áp dụng bđt (1) cùng tăng số mũ của biến chuyển ta chiếm được những tác dụng như:Tổng quát lác ta gồm bài xích toán thù sau:Bài toán 1.1: Cho a + b = 1 . Chứng minch rằng: Cách giải bài bác toán thù 1.1 ta áp dụng phương pháp quy hấp thụ tân oán học tập cùng làm cho giống như bài bác tân oán 1.Nhận xét 2: Tiếp tục tổng quan bài bác toán thù 1.1 lúc cố kỉnh trả thiết a + b = 1 bởi giả thiết a + b = k , làm tương tự nlỗi bên trên ta tất cả Vậy tất cả bài toán 1.2 như sau:Bài toán 1.2: Cho a + b = k . Chứng minh: Nhận xét 3: Từ bài xích toán 1.2 nếu như ta cầm cố trả thiết a + b = k vày b = k - a ta được Bài tân oán 1.3:Chứng minch : với tất cả k .* Knhì thác sâu bài xích toánNhận xét 1: Nếu áp dụng bất đẳng thức (1) tiếp tục 2 lần ta có kết quả:Tổng quát ta tất cả bài bác toán thù sau:Bài toán1.4:Chứng minc : a) b) Nhận xét 2: Nếu áp dụng bất đẳng thức (1) liên tiếp nhiều lần với tăng số biến chuyển ta có:.Vậy có bài bác toán 1.5:Chứng minh: Cứ liên tiếp suy luận sâu không chỉ có thế ta thu được rất nhiều bài bác toán bao quát hơn.Bài toán thù 2: Cho a, b, c > 0.Chứng minh rằng: * Giải: vận dụng bất đẳng thức (2) ta gồm : (vày a, b, c > 0) ( do (a+b)(b+c)(c+a) > 0 cùng 8abc > 0).Đẳng thức xảy ra Lúc a = b = c .* Knhị thác bài bác toánNhận xét 1: Nếu mang đến a, b, c > 0 cùng a + b + c = 1. khi đó ta có một - a, 1- b, 1 - c > 0 và có 1 + c = 1 + 1 - a - b = (1 - a ) + (1 - b ). áp dụng bài tân oán 2 ta được : Vậy có bài bác toán thù 2.1:Cho a, b, c > 0 cùng a + b + c = 1. Chứng minh: Nhận xét 2: Ta liên tục khai thác sâu hơn bài bác toán bằng cách đến a + b + c = n > 0 . lúc kia tương tự như bài xích toán thù 2.1 ta bao gồm Bài tân oán 2.2:Cho a, b, c > 0 và a + b + c = n > 0. Chứng minch : Bài toán thù 3:Chứng minch rằng với đa số a, b, c ta bao gồm : * Giải : áp dụng bất đẳng thức (3) ta có : đ.p.c.mCó đẳng thức Lúc a = b = c.* Knhị thác bài xích toánNhận xét 1 : Nếu vận dụng bài tân oán 3 với tăng số mũ lên, không thay đổi số vươn lên là ta có (*) lại vận dụng bài bác tân oán 3 lần nữa ta có (**) . Từ (*) và (**) ta thu được công dụng là . Vậy gồm bài bác toán thù 3.1:Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta bao gồm : .Nhận xét 2: Nếu tăng số biến đổi với không thay đổi số nón của biến đổi cùng với bí quyết có tác dụng nhỏng bài xích tân oán 3 ta gồm Bài toán thù 3.2:Chứng minch rằng: Với đầy đủ Bài toán thù 4 :Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d ta bao gồm :* Giải :áp dụng bất đẳng thức (3) ta gồm : đ.p.c.mCó đẳng thức Lúc a = b = c = d* Knhị thác bài xích toánNhận xét 1: Nếu thế b = c = d = 1 ta bao gồm bđt Vậy có bài xích toán thù 4.1:Tìm cực hiếm nhỏ tuyệt nhất của A = Nhận xét 2: Nếu khai quật bài toán 4 theo phía tăng số biến đổi, số nón lên, ta Có bài bác toán bao quát sau:Bài tân oán 4.2:Chứng minch rằng với tất cả số với ta có:.Bài toán 5 :Cho a + b + c + d = 2 . Chứng minh : * Knhì thác bài toánNhận xét 1: Nếu vậy hằng số 2 sinh sống đưa thiết vì số k ta được hiệu quả . Vậy bao gồm bài bác tân oán tổng thể hơn như là sau:Bài toán 5.1:Cho a + b + c + d = k . Chứng minh : Nhận xét 2: Ta còn có thể tổng thể bài xích tân oán 5.1 ở mức độ cao hơn nữa bằng cách tăng số trở nên của bài bác tân oán . lúc kia bài toán 5.1 chỉ nên ngôi trường hòa hợp riêng biệt của bài toán thù sau:Bài tân oán 5.2:Cho = k . Chứng minh: với Để giải bài tân oán này thì cả nhị giải pháp làm cho của bài xích toán 5 sinh sống bên trên chuyển vào vận dụng không hợp lí, ta đang làm nlỗi sau:vận dụng bđt (3) ta có: ; ; ; (vì ) (đ.p.c.m). Từ kia suy ra : cùng với (1.1)Vậy bao gồm bài tân oán 5.3: Chứng minh: với .Đặc biệt hoá với n = 5, n = 7, ta được đầy đủ bài bác toán thù nlỗi : Chứng minc : . Rõ ràng phần nhiều bđt này nếu như sử dụng phương thức cần sử dụng khái niệm hoặc chuyển đổi tương đương thì hết sức khó khăn giải quyết và xử lý .* Khai thác sâu bài toánNếu tiếp tục nâng số mũ lên cao hơn Theo phong cách khai thác của bài toán 1.4 ta thu được kết quả bao quát hơn nữa chẳng hạn:Bài toán thù 5.4:Chứng minh: a) cùng với b) với c) với (1.2)Rõ ràng các bất đẳng thức này còn chặt hơn cả bđt Cô Si với cũng không nên ĐK gì của biến đổi.Tiểu kết 1: Trên đây ta đã khai thác cùng phát triển trường đoản cú phần đa bài toán đơn giản dễ dàng nhằm chiếm được phần đông bài bác toán mới, hầu như hiệu quả bắt đầu bao quát rộng.Bất đẳng thức (1.1) là trường đúng theo bao quát của bất đẳng thức (1) Lúc ta khai thác theo phía tăng số biến đổi của bài xích toán.Bất đẳng thức (1.2) là ngôi trường hợp bao quát của bất đẳng thức (1) khi ta khai quật theo hướng tăng cả số mũ với số biến.Tiểu kết 2:Để khai thác, phát triển một bài xích tân oán về bất đẳng thức ta rất có thể đi theo một trong những phía như sau: Hướng thứ nhất : Tổng quát mắng hoá các hằng số bao gồm vào bài bác toán thù, ví dụ như các bài bác toán thù 1.2; 2.2; 5.1; 6.1; 8.1; 9.1; 10.2; 12.1Hướng thứ nhì : Giữ nguim số biến và tăng số nón của các trở nên dẫn mang lại tổng thể hoá số mũ, ví dụ những bài xích toán thù 1.1; 1.4Hướng lắp thêm ba : Giữ nguyên số mũ với tăng số đổi mới của những đổi thay dẫn mang đến tổng thể hoá số trở nên, ví dụ các bài bác toán thù 1.5; 3.1; 6.3; 9.2; 10.3Hướng sản phẩm bốn : Tổng quát lác hoá lẫn cả về số mũ và số vươn lên là, ví dụ như các bài bác toán thù 4.2; 5.2; 5.4Hướng sản phẩm năm : Đổi đổi mới, đặc biệt hoá tự bài bác tân oán bao quát, ví dụ như những bài bác toán thù 2.1; 4.1; 5.3; 6.2 Trên đấy là các ví dụ áp dụng bđt (*) vào Việc giải những bài bác toán thù đại số với một vài phương thơm hướng nhằm khai thác một bài toán thù. Kết quả thu được sau khi khai quật bđt (1) là bđt : cùng với (1.1) Và bđt: cùng với (1.2)Hoàn toàn giống như nhỏng trên ( Chứng minc bởi quy nạp toán học tập ) ta cũng đều có hiệu quả Khi khai quật bđt (2) như sau: với (2.1)Từ bđt (1.2) và bđt (2.1) ta tất cả bđt tổng thể của bđt (*) nhỏng sau: cùng với (*.1) bởi thế Khi làm dứt một bài bác toán thù dù cho là bài xích toán dễ , tín đồ làm cho tân oán không nên hợp ý ngay lập tức với giải thuật của chính mình nhưng nên liên tiếp suy nghĩ số đông vấn đề bao quanh bài xích tân oán, tìm ra các bài tân oán bắt đầu tốt rộng, bao quát rộng, sau đó đặc biệt hoá bài bác tân oán tổng quát để sở hữu được hồ hết bài tân oán lạ mắt hơn, thú vui rộng. Điều đó làm cho cho những người học tân oán càng ngày càng si cỗ môn, đồng thời cũng chính là cách tập luyện tư duy, phân tích nhằm sở hữu kho báu trí thức của nhân loại. MOÄT KYế THUAÄT CHệÙNG MINH BAÁT ẹAÚNG THệÙC COÙ ẹIEÀU KIEÄN ===========Trong moọt soỏ baứi toaựn Baỏt ủaỳng thửực coự moọt soỏ khaự nhieàu baứi toaựn chửựng minc mađọng caực aồn coự ủieàu kieọn raứng buoọc; daùng: “Cho C D. Chửựng minc A B”Coự moọt kyừ thuaọt ủeồ chửựng minh laứ đọng ta ủi tửđọng chửựng minh: (A – B) + (D –C) 0; Khi ủoự tửỷ ủieàu kieọn C D ta suy ra ủửụùc A BSau ủaõy laứ đọng moọt soỏ vớ duù:Baứi toaựn 1: Cho a + b 1. Chửựng minh raống: a2 + b2 1/2Giaỷi: Ta coự (a2 + b2 – 1/2) + (1 – a – b) = a2 + b2 – a – b – một nửa = (a2 – a + 1/4) + ( b2 – b + 1/4) = (a – 1/2)2 + (b – 1/2)2 0. Maứ a + b 1 suy ra: 1 – a – b 0 => a2 + b2 – 1/2 0 Hay a2 + b2 1/2Baứi toaựn 2: Chửựng minh raống neỏu a + b 2 thỡ a3 + b3 a4 + b4Giaỷi: Ta coự: (a4 + b4 – a3 + b3) + ( 2 – a – b) = a4 – a3 – a + 1 + b4 – b3 – b + 1 = = (a – 1)(a3 – 1) + (b -1)(b3 – 1) = (a – 1)2(a2 + a + 1) + (b – 1)2(b2 + b + 1) 0Maứ a + b 2 => 2 – a – b 0 => a4 + b4 – a3 + b3 0 => a3 + b3 a4 + b4Baứi toaựn 3: Cho x, y lađọng caực soỏ dửụng thoaỷ maừn: x3 + y4 x2 + y3. Chửựng minch raống:x3 + y3 x2 + y2 vaứ đọng x2 + y3 x + y2Giaỷi: a/ Ta coự: (x2 + y2 – x3 – y3) + (x3 + y4 – x2 – y3) = y2 – 2y3 + y4 = y2(y – 1)2 0Maứ x3 + y4 x2 + y3 => x3 + y4 – x2 – y3 0 => x3 + y3 x2 + y2b/ Ta coự: (x + y2 – x2 + y3) + (x3 + y4 – x2 – y3) = x – 2x2 + x3 + y2 – 2y3 + y4 == x(1 – x)2 + y2(y – 1)2 0 (vỡ lẽ x > 0)Mađọng x3 + y4 x2 + y3=> x3 + y4 – x2 – y3 0 => x2 + y3 x + y2Baứi toaựn 4: Chửựng minch raống neỏu: a + b + c 3 thỡ a4 + b4 + c4 a3 + b3 + c3 Giaỷi: Ta coự: (a4 + b4 + c4 – a3 – b3 – c3) + (3 – a – b – c) = = (a – 1)2(a2 + a + 1) + (b – 1)2(b2 + b + 1) + (c – 1)2(c2 + c + 1 0Maứ: a + b + c 3 => 3 – a – b – c 0 => a4 + b4 + c4 a3 + b3 + c3Baứi toaựn 5: Cho x, y lađọng caực soỏ dửụng thoaỷ maừn x3 + y3 = x – y. Chửựng minc raống: x2 + y2 0 ( vỡ lẽ x; y > 0)=> x2 + y2