Trong chương trình toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích, để hiểu rõ hơn về Cơ sở, số chiều,toạ độ không gian vecto , bài viết này man-city.net sẽ chia sẻ một số kiến thức cơ bản cùng với các dạng bài tập về Cơ sở, số chiều,toạ độ không gian vecto thường gặp trong quá trình học. Chúc các bạn học tập tốt!


1.Định nghĩa cơ sở, số chiều, không gian vecto

S={e1 + e2 ,…,en } là cơ sở của không gian V nếu:

S độc lập tuyến tính∀ phần tử x đều được biểu diễn qua S: x= k1e1+k2e2+…+knen

Khi đó số chiều không gian V=dim V=n= số phần tử

1.1Cơ sở chính tắc

R3={a,b,c}(a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)S={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}dim Rn=ncó 3 vecto

P2={a+bx+cx2}S={1,x,x2}dim Pn=n+1có 3 vecto

1.2 Kiểm tra S có phải là cơ sở của không gian vecto V không

S là cơ nếu nếu thoả mãn 2 điều kiện:

S độc lập tuyến tínhdim V= số phần tử S

a.

Xem thêm: Hardwired Là Gì - Nghĩa Của Từ Hard

S={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}⊂R4

S có 3 phần tử mà dim R4 =4 => S không phải là cơ sở

b. S={(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)}⊂R3

số phần tử =dim R3 =3

Xét định thức:

*

> phụ thuộc tuyến tính

=> S không là sơ sở

c.S={1+x,2-x+3x2,3x-x2}⊂P2

Số phần tử=dim P2 =3

Xét định thức:

*

=> độc lập tuyến tính

=> S là cơ sở

2.Toạ độ không gian vecto

3.Ma trận chuyển cơ sở S→T

Ma trận chuyển S→T là ma trận toạ độ của T theo S

Ví dụ: Trong không gian R3 cho 2 hệ cơ sở

S={ u1(1,1,1), u2(1,0,2), u3(1,2,1)}

T={ v1(2,3,2), v2(-1,1,4), v3(2,1,3)}

Tìm ma trận chuyển từ cơ sở S sang T

Giải

Xét ma trận sau:

*

Giải hệ phương trình

*

ta được 3 nghiệm a=1,b=0,c=1

*

Tương tự xét ma trận

*

*

*

*

Vậy ma trận cần tìm là

Bài tập cơ sở không gian vecto

1.Giải thích tại sao tập sau có phải là cơ sở vecto của không gian tương ứng không

a. u1(1,2), u2(3,4), u3(5,6) đối với R2