Định nghĩa: Giả sử hàm số xác định trên khoảng chừng và

*
Hàm số Call là liên tiếp tại điểm nếu:
*

Hàm số không tiếp tục trên điểm Call là cách trở tại .

2. Hàm số tiếp tục bên trên một khoảng, bên trên một đoạn

Định nghĩa: Giả sử hàm số

*
xác minh trên khoảng .Ta nói rằng hàm số tiếp tục trên khoảng chừng giả dụ nó liên tiếp trên phần lớn điểm của khoảng tầm đó.

Hàm số Hotline là tiếp tục bên trên đoạn giả dụ nó thường xuyên trên khoảng chừng và

*

Nhận xét:

a). Nếu hai hàm số f cùng g liên tục trên điểm thì các hàm số

*
(c là 1 hằng số) số đông liên tiếp tại điểm .

b). Hàm đa thức và hàm số phân thức hữu tỉ tiếp tục trên tập xác định của chúng.

3. Tính chất của hàm số liên tục:

Định lí 2 (định lí về quý hiếm trung gian của hàm số liên tục)

Giả sử hàm số f thường xuyên trên đoạn .Nếu

*
thì cùng với từng số thực M nằm trong lòng , mãi sau ít nhất một điểm sao cho
*

Ý nghĩa hình học của định lí

Nếu hàm số f liên tiếp bên trên đoạn và M là một số trong những thực nằm giữa thì con đường thẳng

*
cắt đồ vật thị của hàm số trên tối thiểu một điểm bao gồm hoành độ .

Hệ quả

Nếu hàm số f thường xuyên bên trên đoạn và thì trường thọ ít nhất một điểm thế nào cho

*

Ý nghĩa hình học của hệ quả

Nếu hàm số f tiếp tục bên trên đoạn với thì đồ thị của hàm số cắt trục hoành ít nhất trên một điểm có hoành độ .

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁPhường GIẢI

DẠNG 1: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

PHƯƠNG PHÁPhường 1:

Cách 1: Tính

*
.

Bước 2: Tính

*
. Nếu
*
thì hàm số f(x) liên tục tại .

PHƯƠNG PHÁP. 2:

Bước 1: Tìm

*

Cách 2: Tìm

*
.

Nếu

*
thì hàm số f(x) liên tục trên .


Bạn đang xem: Tính liên tục của hàm số

lấy một ví dụ 1. Xét tính tiếp tục của các hàm số sau tại điểm

a)

*
b)
*


LỜI GIẢI

a). Vì

*
không xác minh, suy ra hàm số không liên tiếp trên

b) Ta có:

*

Do đó hàm số liên tục tại


lấy ví dụ 2. Cho hàm số:

*

a). Tính

*

b). Xét tính thường xuyên của hàm số trên

*


LỜI GIẢI

a).Ta bao gồm

*

b). Từ câu a) suy ra

*
Vậy hàm số vẫn đến thường xuyên tại

hàm số đã cho không khẳng định tại , vì vậy hàm số ko thường xuyên trên .


lấy một ví dụ 3: Xét tính thường xuyên tại quý giá của những hàm số sau:

1).

*
trên với tại

2).

*
trên

3)

*
tại cùng tại
*

4).

*
tại cùng tại

5). tại , trên cùng tại

6).

*
trên

7).

*
trên


LỜI GIẢI

1).

Xét tính liên tiếp tại :

Có

*

Có

*

Ta bao gồm hàm số thường xuyên trên

Xét tính tiếp tục tại :

Có

*
hàm số f(x) tiếp tục tại .

2). Có

*
(1)

Có

*
*
*
(2)

Từ (1) cùng (2) suy ra

*
. Vậy hàm số liên tục tại .

3).

Xét tính tiếp tục trên

Có

*

Có

*

*

Vì

*
hàm số liên tiếp trên

Xét tính liên tiếp tại

Có

*
suy ra hàm số f(x) liên tục tại .

4). Xét tính tiếp tục trên

Ta tất cả

*

Ta tất cả

*

Vì hàm số thường xuyên trên .

Xét tính thường xuyên trên

Ta gồm

*
hàm số f(x) liên tiếp trên .

5). tại , trên cùng trên

Xét tính liên tục tại

Áp dụng giả dụ

*
hàm số thường xuyên tại
*

Có

*

*

Có

*

Vì

*
hàm số liên tục tại
*

Xét tính thường xuyên trên

*

Có

*
. Vậy hàm số f(x) liên tục trên .

Xét tính liên tục tại

*

Có

*
hàm số f(x) thường xuyên tại .

6). Có

*

*
*

Có

*

Có

*

Vì

*
hàm số liên tục tại
*

7). Ta tất cả

*

Có

*

Có

*
.

Vì

*
hàm số ko liên tiếp tại
*


lấy một ví dụ 4. Cho hàm số

*

Với cực hiếm như thế nào của a thì hàm số vẫn mang đến liên tiếp tại điểm ?


LỜI GIẢI

Ta gồm

*

Hàm liên tục tại lúc và chỉ còn lúc

*

Vậy hàm số đã cho liên tục tại lúc

*


lấy ví dụ 5: Cho hàm số

*
. Xác định a nhằm hàm số f(x) tiếp tục tại .


LỜI GIẢI

Ta tất cả :

*

*

*
.

Hàm số liên tục trên

*
.


lấy ví dụ như 6: Cho những hàm số sau đây . cũng có thể khái niệm

*
nhằm hàm số thay đổi thường xuyên tại được không?

a)

*
với b)
*
với

c)

*
cùng với d)
*
với


LỜI GIẢI

a). Ta gồm

*

Hàm số tiếp tục tại lúc còn chỉ lúc

*
.

Vậy nếu như bổ sung cập nhật

*
thì hàm số vươn lên là liên tiếp tại

b). Ta có

*

Hàm số liên tiếp tại Khi và chỉ còn lúc

Vậy nếu bổ sung

*
thì hàm số trnghỉ ngơi đề xuất thường xuyên tại

c). Ta gồm

*

hàm số không có số lượng giới hạn tại , vì thế hàm cần yếu liên tục tại .

d). Ta bao gồm

*

Hàm số liên tiếp tại khi và chỉ Lúc

Vậy nếu bổ sung cập nhật

*
thì hàm số trsống đề nghị liên tục tại

DẠNG 2: HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT TẬPhường HỢPhường


lấy ví dụ 1: Chứng minh các hàm số sau liên tiếp bên trên R.

a). b).

c). d).


LỜI GIẢI

a). . TXĐ:

ta gồm

*
. Suy ra hàm số tiếp tục bên trên R.

b) . TXĐ:

ta có

*

*
. Suy ra hàm số liên tục bên trên R.

c) . Tập xác minh của f(x) là

Nếu

*
thì
*
là hàm số phân thức hữu tỉ, bắt buộc thường xuyên trên các khoảng
*
cùng
*
(1).

Bây tiếng ta xét tính tiếp tục của f(x) trên

Ta có:

*

Ta có:

*

Vì

*
Hàm số tiếp tục tại (2).

Từ (1) với (2) suy ra hàm số f(x) tiếp tục bên trên R.

d) . Tập xác minh của f(x) là

Với hầu như , ta gồm

*
. Suy ra hàm số f(x) liên tiếp bên trên khoảng tầm (1).

Với hồ hết , ta tất cả

*
. Suy ra hàm số f(x) liên tiếp bên trên khoảng tầm (2).

Ta xét tính liên tục của f(x) trên

Ta có:

*

Ta có:

*

Và bao gồm

*

Vì

*
Hàm số liên tiếp tại một (3)

Từ (1) (2) với (3) suy ra f(x) liên tục bên trên R.


lấy ví dụ 2: Cho hàm số

*

Xác định a, b để hàm số liên tiếp bên trên R.


LỜI GIẢI

Ta có tập khẳng định của hàm số f(x) là .

Ta có: hàm số thường xuyên bên trên khoảng tầm

*
(bởi vì là hàm đa thức).

Do đó hàm số liên tiếp trên R Lúc và chỉ còn Lúc hàm số liên tục tại những điểm với .

Tại :

Ta tất cả

*
cùng
*
và
*

Do đó hàm thường xuyên tại Khi và chỉ còn Lúc

*

Tại

Ta gồm

*
và
*

Do đó hàm số liên tục tại Lúc và chỉ lúc

*

Từ

*
cùng
*
suy ra hàm số liên tiếp bên trên R Khi còn chỉ khi:
*

Vậy cùng với

*
thì hàm số tiếp tục trên R.


lấy ví dụ như 3: Xét coi những hàm số sau có liên tiếp với không? Nếu không? Chỉ ra các điểm đứt quãng.

a) b)

c)

*
d)
*


Xem thêm:

LỜI GIẢI

a). Hàm số tiếp tục với vày là hàm nhiều thức.

b). Hàm số thường xuyên cùng với

*
, gián đoạn trên những điểm
*
vày ko xác minh tại và

c). Hàm số

*

-Với

*
là hàm phân thức hữu tỉ đề xuất thường xuyên.

-Với

*
. Do đó hàm số thường xuyên tại
*

-Hàm số đứt quãng trên vày nó không xác minh tại .

d). Với

*
là phân thức hữu tỉ buộc phải liên tiếp.

Tại

*

*

Do đó hàm số liên tiếp trên

*

Vậy hàm số liên tiếp với

*


lấy một ví dụ 4: Cho hàm số

*
. Tìm những khoảng, nửa khoảng chừng mà lại trên đó hàm số f(x) liên tục.


LỜI GIẢI

Vì

*
với đa số
*
cần hàm số
*
xác định bên trên khoảng tầm . Ta có
*
thì
*
phải hàm số f(x) thường xuyên bên trên khoảng .

Với số đông

*
thì
*
, cho nên vì vậy hàm số
*
xác minh bên trên nửa khoảng chừng .
*
ta có
*
*
đề nghị hàm số f(x) liên tiếp trên nửa khoảng .

Tại

*
, ta có
*
. Và
*
bắt buộc hàm số f(x) ko liên tiếp tại .

Tóm lại hàm số f(x) thường xuyên trên và trên .

DẠNG 3: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP:

Cách 1: Biến đổi phương thơm trình về dạng .

Bước 2: Tìm hai số a với b sao để cho .

Cách 3: Chứng minc hàm số f(x) liên tiếp trên đoạn .

Từ đó suy ra pmùi hương trình có tối thiểu một nghiệm thuộc

*
.

Crúc ý:

Nếu

*
thì phương trình bao gồm ít nhất một nghiệm ở trong

Nếu hàm số f(x) liên tục bên trên

*
và tất cả
*
thì pmùi hương trình gồm tối thiểu một nghiệm trực thuộc
*
.

Nếu hàm số f(x) liên tục bên trên

*
cùng gồm
*
thì phương trình gồm tối thiểu một nghiệm trực thuộc
*
.


lấy ví dụ như 1: Chứng minh rằng phương trình

*
bao gồm nghiệm trong vòng


LỜI GIẢI

Hàm số

*
liên tiếp trên R.

Ta gồm

*
yêu cầu
*

Do kia theo đặc thù hàm số liên tục, phương trình vẫn đến gồm ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng


Ví dụ 2: Chứng minh pmùi hương trình

*
tất cả ít nhất 2 nghiệm ở trong khoảng tầm
*
.


LỜI GIẢI

Đặt

*
thì f
*
thường xuyên bên trên R.

*

Vì

*
cần phương trình gồm nghiệm nằm trong khoảng

*
suy ra phương thơm trình bao gồm nghiệm thuộc khoảng tầm .

Mà nhị khoảng tầm , không giao nhau. Từ kia suy ra phương trình vẫn mang lại bao gồm ít nhất 2 nghiệm trực thuộc khoảng chừng

*


lấy ví dụ như 3: Chứng minh phương trình

*
gồm đúng năm nghiệm.


LỜI GIẢI

Đặt

*
thì liên tục trên R

Ta tất cả

*

*

*

Vì

*
đề nghị phương trình gồm nghiệm thuộc khoảng tầm
*

Vì

*
đề xuất pmùi hương trình có nghiệm ở trong khoảng chừng
*

Vì

*
cần phương trình gồm nghiệm ở trong khoảng chừng
*

Vì

*
buộc phải phương trình tất cả nghiệm nằm trong khoảng tầm
*

Vì

*
buộc phải pmùi hương trình có nghiệm nằm trong khoảng
*

Do những khoảng chừng

*
*
*
*
*
ko giao nhau phải pmùi hương trình tất cả ít nhất 5 nghiệm trực thuộc các khoảng bên trên.

Mà pmùi hương trình bậc 5 bao gồm không thật 5 nghiệm suy ra phương thơm trình vẫn đến có đúng 5 nghiệm.


Ví dụ 4. Chứng minh rằng giả dụ

*
thì phương trình có tối thiểu một nghiệm ở trong khoảng


LỜI GIẢI

Đặt

*
, vày
*
phải pmùi hương trình đã cho trsinh hoạt thành:

*
với

Đặt

*
thì
*
tiếp tục bên trên R.

Ta vẫn minh chứng phương trình luôn luôn gồm nghiệm .

Cách 1: Ta có

*

-Nếu

*
thì
*
do đó phương trình gồm nghiệm
*

-Nếu

*
thì
*
do đó phương trình gồm nghiệm
*
do đó phương thơm trình có nghiệm

Vậy pmùi hương trình có ít nhất một nghiệm trực thuộc khoảng tầm

Cách 2:

Ta có

*

-Nếu

*
từ đưa thiết suy ra
*
vì vậy phương thơm trình tất cả nghiệm
*

-Nếu

*
thì
*
thiết yếu mặt khác bởi 0 (vày phương thơm trình bậc nhì không tồn tại quá hai nghiệm).

lúc kia, từ bỏ

*
suy ra trong cha số
*
yêu cầu tất cả nhị quý giá trái vết nhau ( Ví trường hợp cả cha quý hiếm đó cùng cách nói hoặc thuộc dương thì tổng của chúng chẳng thể bởi 0).

Mà nhị cực hiếm như thế nào trong chúng trái lốt thì theo tính chất hàm thường xuyên ta đông đảo suy ra pmùi hương trình gồm ít nhất một nghiệm

*

Vậy pmùi hương trình có tối thiểu một nghiệm thuộc khoảng tầm


Ví dụ 5: Cho hàm số

*
(với m là tđê mê số). Chứng minc rằng với thì phương trình bao gồm đúng bố nghiệm minh bạch
*
và thỏa điều kiện .


LỜI GIẢI

Ta tất cả

*
,
*
Khi thì
*
cùng
*
.

Mà

*
làm thế nào để cho
*
.

*
làm thế nào cho
*
.

Do kia ta có

*
. Vì hàm số f(x) khẳng định cùng thường xuyên trên R cần liên tiếp bên trên những đoạn
*
phải phương trình gồm ít nhất cha nghiệm thứu tự ở trong những khoảng chừng
*
. Vì f(x) là hàm bậc bố nên những tốt nhất chỉ bao gồm bố nghiệm.

Tóm lại cùng với thì phương thơm trình

*
gồm đúng ba nghiệm minh bạch thỏa .


lấy ví dụ 6: Chứng minch rằng phương thơm trình

*
với
*
luôn luôn tất cả tối thiểu một nghiệm âm với đa số cực hiếm của tmê mệt số m.


LỜI GIẢI

Đặt

*
.

Ta bao gồm

*
,
*
. Từ đó gồm
*
(1). Do hàm số xác định cùng tiếp tục bên trên R buộc phải hàm số tiếp tục trên đoạn
*
(2).

Từ (1) cùng (2)

*
có tối thiểu một nghiệm nằm trong
*
,
*
.

Kết luận phương thơm trình luôn tất cả ít nhất một nghiệm âm với đa số quý giá tsi mê số m.

BÀI TẬP TỔNG HỢPhường.


Câu 1: Cho hàm số

*

Với quý hiếm nào của a, b thì hàm số thường xuyên bên trên R?


LỜI GIẢI

Hàm số đang cho liên tục tại hồ hết x khác 2 với không giống 6. Hàm số đã đến tiếp tục bên trên R Lúc và chỉ Khi hàm số thường xuyên trên cùng

*

+ Tại

*

Hàm số thường xuyên trên Khi còn chỉ lúc

*

+ Tại

*

Hàm số liên tục trên

*
lúc và chỉ còn Khi
*

Do đó hàm số vẫn mang đến tiếp tục trên R khi còn chỉ lúc

*


Câu 2: Tìm a, b, c để hàm số sau thường xuyên trên R:

*


LỜI GIẢI

Hàm số đang cho liên tiếp bên trên những khoảng

*
Do đó hàm số tiếp tục bên trên R Khi và chỉ còn Lúc hàm số thường xuyên trên các điểm
*