Định nghĩa: Giả sử hàm số xác định trên khoảng chừng và


Hàm số không tiếp tục trên điểm Call là cách trở tại .
2. Hàm số tiếp tục bên trên một khoảng, bên trên một đoạn
Định nghĩa: Giả sử hàm số

Hàm số Hotline là tiếp tục bên trên đoạn giả dụ nó thường xuyên trên khoảng chừng và

Nhận xét:
a). Nếu hai hàm số f cùng g liên tục trên điểm thì các hàm số

b). Hàm đa thức và hàm số phân thức hữu tỉ tiếp tục trên tập xác định của chúng.
3. Tính chất của hàm số liên tục:
Định lí 2 (định lí về quý hiếm trung gian của hàm số liên tục)
Giả sử hàm số f thường xuyên trên đoạn .Nếu


Ý nghĩa hình học của định lí
Nếu hàm số f liên tiếp bên trên đoạn và M là một số trong những thực nằm giữa thì con đường thẳng

Hệ quả
Nếu hàm số f thường xuyên bên trên đoạn và thì trường thọ ít nhất một điểm thế nào cho

Ý nghĩa hình học của hệ quả
Nếu hàm số f tiếp tục bên trên đoạn với thì đồ thị của hàm số cắt trục hoành ít nhất trên một điểm có hoành độ .
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁPhường GIẢI
DẠNG 1: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
PHƯƠNG PHÁPhường 1:
Cách 1: Tính

Bước 2: Tính


PHƯƠNG PHÁP. 2:
Bước 1: Tìm

Cách 2: Tìm

Nếu

Bạn đang xem: Tính liên tục của hàm số
lấy một ví dụ 1. Xét tính tiếp tục của các hàm số sau tại điểm
a)


LỜI GIẢI
a). Vì

b) Ta có:

Do đó hàm số liên tục tại
lấy ví dụ 2. Cho hàm số:

a). Tính

b). Xét tính thường xuyên của hàm số trên

LỜI GIẢI
a).Ta bao gồm

b). Từ câu a) suy ra

hàm số đã cho không khẳng định tại , vì vậy hàm số ko thường xuyên trên .
lấy một ví dụ 3: Xét tính thường xuyên tại quý giá của những hàm số sau:
1).

2).

3)


4).

5). tại , trên cùng tại
6).

7).

LỜI GIẢI
1).
Xét tính liên tiếp tại :
Có

Có

Ta bao gồm hàm số thường xuyên trên
Xét tính tiếp tục tại :
Có

2). Có

Có



Từ (1) cùng (2) suy ra

3).
Xét tính tiếp tục trên
Có

Có


Vì

Xét tính liên tiếp tại
Có

4). Xét tính tiếp tục trên
Ta tất cả

Ta tất cả

Vì hàm số thường xuyên trên .
Xét tính thường xuyên trên
Ta gồm

5). tại , trên cùng trên
Xét tính liên tục tại
Áp dụng giả dụ


Có


Có

Vì


Xét tính thường xuyên trên

Có

Xét tính liên tục tại

Có

6). Có



Có

Có

Vì


7). Ta tất cả

Có

Có

Vì


lấy một ví dụ 4. Cho hàm số

Với cực hiếm như thế nào của a thì hàm số vẫn mang đến liên tiếp tại điểm ?
LỜI GIẢI
Ta gồm

Hàm liên tục tại lúc và chỉ còn lúc

Vậy hàm số đã cho liên tục tại lúc

lấy ví dụ 5: Cho hàm số

LỜI GIẢI
Ta tất cả :



Hàm số liên tục trên

lấy ví dụ như 6: Cho những hàm số sau đây . cũng có thể khái niệm

a)


c)


LỜI GIẢI
a). Ta gồm

Hàm số tiếp tục tại lúc còn chỉ lúc

Vậy nếu như bổ sung cập nhật

b). Ta có

Hàm số liên tiếp tại Khi và chỉ còn lúc
Vậy nếu bổ sung

c). Ta gồm

hàm số không có số lượng giới hạn tại , vì thế hàm cần yếu liên tục tại .
d). Ta bao gồm

Hàm số liên tiếp tại khi và chỉ Lúc
Vậy nếu bổ sung cập nhật

DẠNG 2: HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT TẬPhường HỢPhường
lấy ví dụ 1: Chứng minh các hàm số sau liên tiếp bên trên R.
a). b).
c). d).
LỜI GIẢI
a). . TXĐ:
ta gồm

b) . TXĐ:
ta có


c) . Tập xác minh của f(x) là
Nếu




Bây tiếng ta xét tính tiếp tục của f(x) trên
Ta có:

Ta có:

Vì

Từ (1) với (2) suy ra hàm số f(x) tiếp tục bên trên R.
d) . Tập xác minh của f(x) là
Với hầu như , ta gồm

Với hồ hết , ta tất cả

Ta xét tính liên tục của f(x) trên
Ta có:

Ta có:

Và bao gồm

Vì

Từ (1) (2) với (3) suy ra f(x) liên tục bên trên R.
lấy ví dụ 2: Cho hàm số

Xác định a, b để hàm số liên tiếp bên trên R.
LỜI GIẢI
Ta có tập khẳng định của hàm số f(x) là .
Ta có: hàm số thường xuyên bên trên khoảng tầm

Do đó hàm số liên tiếp trên R Lúc và chỉ còn Lúc hàm số liên tục tại những điểm với .
Tại :
Ta tất cả



Do đó hàm thường xuyên tại Khi và chỉ còn Lúc

Tại
Ta gồm


Do đó hàm số liên tục tại Lúc và chỉ lúc

Từ



Vậy cùng với

lấy ví dụ như 3: Xét coi những hàm số sau có liên tiếp với không? Nếu không? Chỉ ra các điểm đứt quãng.
a) b)
c)


LỜI GIẢI
a). Hàm số tiếp tục với vày là hàm nhiều thức.
b). Hàm số thường xuyên cùng với


c). Hàm số

-Với

-Với


-Hàm số đứt quãng trên vày nó không xác minh tại .
d). Với

Tại


Do đó hàm số liên tiếp trên

Vậy hàm số liên tiếp với

lấy một ví dụ 4: Cho hàm số

LỜI GIẢI
Vì





Với số đông






Tại



Tóm lại hàm số f(x) thường xuyên trên và trên .
DẠNG 3: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP:
Cách 1: Biến đổi phương thơm trình về dạng .
Bước 2: Tìm hai số a với b sao để cho .
Cách 3: Chứng minc hàm số f(x) liên tiếp trên đoạn .
Từ đó suy ra pmùi hương trình có tối thiểu một nghiệm thuộc

Crúc ý:
Nếu

Nếu hàm số f(x) liên tục bên trên



Nếu hàm số f(x) liên tục bên trên



lấy ví dụ như 1: Chứng minh rằng phương trình

LỜI GIẢI
Hàm số

Ta gồm


Do kia theo đặc thù hàm số liên tục, phương trình vẫn đến gồm ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng
Ví dụ 2: Chứng minh pmùi hương trình


LỜI GIẢI
Đặt



Vì


Mà nhị khoảng tầm , không giao nhau. Từ kia suy ra phương trình vẫn mang lại bao gồm ít nhất 2 nghiệm trực thuộc khoảng chừng

lấy ví dụ như 3: Chứng minh phương trình

LỜI GIẢI
Đặt

Ta tất cả



Vì


Vì


Vì


Vì


Vì


Do những khoảng chừng





Mà pmùi hương trình bậc 5 bao gồm không thật 5 nghiệm suy ra phương thơm trình vẫn đến có đúng 5 nghiệm.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng giả dụ

LỜI GIẢI
Đặt



Đặt


Ta vẫn minh chứng phương trình luôn luôn gồm nghiệm .
Cách 1: Ta có

-Nếu



-Nếu



Vậy pmùi hương trình có ít nhất một nghiệm trực thuộc khoảng tầm
Cách 2:
Ta có

-Nếu



-Nếu


lúc kia, từ bỏ


Mà nhị cực hiếm như thế nào trong chúng trái lốt thì theo tính chất hàm thường xuyên ta đông đảo suy ra pmùi hương trình gồm ít nhất một nghiệm

Vậy pmùi hương trình có tối thiểu một nghiệm thuộc khoảng tầm
Ví dụ 5: Cho hàm số


LỜI GIẢI
Ta tất cả




Mà




Do kia ta có



Tóm lại cùng với thì phương thơm trình

lấy ví dụ 6: Chứng minch rằng phương thơm trình


LỜI GIẢI
Đặt

Ta bao gồm




Từ (1) cùng (2)



Kết luận phương thơm trình luôn tất cả ít nhất một nghiệm âm với đa số quý giá tsi mê số m.
BÀI TẬP TỔNG HỢPhường.
Câu 1: Cho hàm số

Với quý hiếm nào của a, b thì hàm số thường xuyên bên trên R?
LỜI GIẢI
Hàm số đang cho liên tục tại hồ hết x khác 2 với không giống 6. Hàm số đã đến tiếp tục bên trên R Lúc và chỉ Khi hàm số thường xuyên trên cùng

+ Tại

Hàm số thường xuyên trên Khi còn chỉ lúc

+ Tại

Hàm số liên tục trên


Do đó hàm số vẫn mang đến tiếp tục trên R khi còn chỉ lúc

Câu 2: Tìm a, b, c để hàm số sau thường xuyên trên R:

LỜI GIẢI
Hàm số đang cho liên tiếp bên trên những khoảng

